关于 d 进制分区及其在初等对称分区中的应用的若干思考

我们证明了新的关于 $p_d(n)$ 的公式，即 $n$ 的 $d$ 进制分区数，同时也给出了其多项式部分的表达式。给定分区 $\lambda=(\lambda_1,\ldots,\lambda_{\ell})$，其关联的第 $j$ 项对称初等分区 $pre_{j}(\lambda)$ 是由分量集合 \{\lambda_{i_1}\cdots\lambda_{i_j\;\;:\;\;1\leq i_1 < \cdots < i_j\leq \ell\}\} 构成的分区。我们证明，如果 $\lambda$ 和 $\mu$ 是两个长度为 $\ell$ 的 $d$ 进制分区，且满足 $pre_j(\lambda)=pre_j(\mu)$ 且 $\lambda_{i_1}\cdots \lambda_{i_j} = \mu_{i_1}\cdots \mu_{i_j}$，对于所有 $1\leq i_1 < \cdots < i_j\leq \ell$，则 $\lambda=\mu$。