Mullineux 映射:$d$-平衡分拆与 $d$-游走矩阵

设 $1<d<e$ 为两个互素整数,记 $m_e$ 为 Mullineux 映射。当 $e$ 为素数时,它描述了对称群的不可约模与符号特征在特征 $e$ 下的张量积。我们证明:若 $\lambda$ 是一个 $e$-正则分拆,且 $\lambda$ 中任何大小被 $e$ 整除的边带钩(rim hook)的臂长都被 $d$ 整除,则 $m_e(\lambda)'$ 是一个分拆,其任何大小被 $e$ 整除的边带钩的臂长模 $d$ 余 $-1$。我们引入了一个新的分拆参数,称为 $d$-游走矩阵($d$-runner matrix),并证明若 $\lambda$ 如上所述,则 $\lambda$ 与 $m_e(\lambda)'$ 的 $d$-游走矩阵相同。这唯一确定了 $m_e(\lambda)'$。我们以组合方式处理整个问题,并利用本文所引入的一种新的算盘 Mullineux 算法(Abacus Mullineux Algorithm)。我们还建立了上述分拆的等价描述,为关于 Mullineux 映射的主要结果提供了一种替代形式,该形式在 $d=2$ 时尤为有力。