关于 $\mathbb{T}^2$ 上二维Euler方程能量极大子的稳定性评注

众所周知，二维Euler方程解的第一能壳，$$\mathcal{S}_1^{c_0}:=\{\alpha \cos(x+\mu)+\beta\cos(y+\lambda): \alpha^2+\beta^2=c_0\,\, \&\,\, (\mu,\lambda)\in\mathbb{R}^2\}$$ 在 $\mathbb{T}^2$ 上是Lyapunov稳定的。这仅仅是能量与涡量平方守恒的结果。利用Wirosoetisno与Shepherd \cite{WS}的思想，即利用适当选取的Casimir函数的守恒性，我们给出单模态模去平移的 $L^2$ 稳定性的一个简单且定量的证明。换言之，每个 $$\mathcal{S}_1^{\alpha,\beta}:=\{\alpha \cos(x+\mu)+\beta\cos(y+\lambda): (\mu,\lambda)\in\mathbb{R}^2\}$$ 都是Lyapunov稳定的。有趣的是，我们的估计表明极端情形 $\alpha=0,$ $\beta=0$ 以及 $\alpha=\pm\beta$ 可能明显不如其他情形稳定。