Onsager 猜想的分形版本：β-模型

间歇现象已知是 Kolmogorov 完全发展湍流理论不与若干实验结果相符的主要原因之一。这正是为何一些\emph{分形}统计模型被提出，以使理论物理预测与经验实验重新对齐。它们表明，对于高雷诺数，能量耗散乃至奇性并非空间填充的。本札记旨在给出此类湍流分形模型能量守恒的精确数学表述。我们证明，对于不可压缩 Euler 方程的 $\theta-$Hölder 连续弱解，若空间奇集 $S \subseteq \T^3$（也可能依赖于时间）的上 Minkowski 维数较小，或更精确地若 $\overline{\dim}_{\mathcal{M}}(S)<2+3\theta\,$，则能量守恒成立。特别地，Euler 方程的\emph{非守恒} $\theta-$Hölder 连续弱解的空间奇性集中在一个维数下界为 $2+3\theta$ 的集合上。该结果可视为著名 Onsager 猜想的分形对应，并且既与 Frisch、Sulem 和 Nelkin 在 \cite{FSN78} 中引入的 $\beta-$模型所给预测相符，也与其他端点情形中的数学结果一致。