叠加原理的正则化：势论与 Fokker-Planck 方程的结合
概率论
2026-03-13 v2 偏微分方程分析
摘要
对于（可能非线性的）Fokker-Planck 方程（FPE）的解，强大的叠加原理构建了一个在路径空间上具有单维时间边缘分布等于该解的概率测度，并且此解还能解决其由 FPE 给定的 Kolmogorov 算子对应的鞅问题。因此，叠加原理揭示了这类抛物型 PDE 具有概率论上的对应物。本文的目标是进一步深入一步的步骤，并利用叠加原理，构建与（线性化）FPE 以上述方式关联的完整的马尔可夫过程，即一族路径测度，这些测度对应一大类由空间时间起点通过马尔可夫性质相互连接的起点。本文在 FPE 系数仅满足可测性条件的极其一般情况下，以能够实现该过程为右过程的方式完成。右过程是一类在许多正则化属性方面都很有用的马尔可夫过程，包括强马尔可夫性质，这一性质对于通过概率工具对其作为（非线性）抛物型 PDE 进行分析至关重要。作为两个主要应用，我们为 FPE 构造基本流解，并通过概率手段为抛物型 Dirichlet 问题证明良好存在性，处理的系数比现有文献中更为一般。此外，我们使用相应的右过程引入一种 Choquet 容积，用于此类 FPE。在叠加原理的语境下，强马尔可夫性质的有效性甚至在线性情形下都是开放问题。本文也在非线性情形下解决了这一问题，即对于 McKean-Vlasov SDE 的路径分布解。此类问题的一个主要应用是由广义多孔介质方程给出的 FPE 及其对应的 McKean-Vlasov SDE。
引用
@article{arxiv.2603.05174,
title = {Regularization of the superposition principle: Potential theory meets Fokker-Planck equations},
author = {Lucian Beznea and Iulian Cîmpean and Michael Röckner},
journal= {arXiv preprint arXiv:2603.05174},
year = {2026}
}