论 McKean 意义下的非线性 Markov 过程

我们研究 McKean 开创性工作 [32] 意义下的非线性时间非齐次 Markov 过程。这些过程由路径空间上的一族律 $\mathbb{P}_{s,\zeta}$（$s\geq 0$）给出，其中 $\zeta$ 取遍 $\mathbb{R}^d$ 上一组容许的初始概率测度。本文集中于每个 $\mathbb{P}_{s,\zeta}$ 均作为 McKean-Vlasov SDE 解的路径律给出的情形，其中后者允许仅具有可测系数，特别地，这些系数不必在测度变量上弱连续。我们的主要结果是给出了此类一般 McKean-Vlasov SDE 上可验证的普适条件，其解的路径律构成非线性 Markov 过程。我们的非线性 Markov 性概念承袭 McKean 的精神，但更为一般，以纳入其一维时间边际密度求解非线性抛物型 PDE（更确切地说，非线性 Fokker-Planck-Kolmogorov 方程）的过程，例如 Burgers 方程、多孔介质方程及其带输运型漂移项的变化形式，以及最近被研究的 $2D$ 涡量 Navier-Stokes 方程和 $p$-Laplace 方程。在所有这些情形中，相关的 McKean-Vlasov SDE 的扩散与漂移系数均奇异地（即 Nemytskii 型）依赖于其解的一维时间边际。我们强调，对于主要结果，非线性 Fokker-Planck-Kolmogorov 方程不必适定。由此，我们建立了大类非线性抛物型 PDE 的解流与非线性 Markov 过程之间的一一对应。