树状图与单环图的 3-路径理想正则性

设 $G$ 为简单图，$I_3(G)$ 为其对应的多项式环 $R$ 中的 3-路径理想。本文证明对任意图 $G$，$reg(R/I_3(G))$ 均满足下界 $2\nu_3(G)$，其中 $\nu_3(G)$ 为 3-路径诱导匹配数。我们给出一类图（即树状图），证明下界可被实现。此外，对单环图 $G$，我们证明 $reg(R/I_3(G))\leq 2\nu_3(G)+2$，并给出实例说明该上界为尖锐上界。