正则双正交对与伪玻色子算符

本文的第一个目的是展示一种基于对易规则 $ab-ba=I$（对于作用在具有内积 $( \cdot | \cdot )$ 的希尔伯特空间 ${\cal H}$ 上的一对算符 $a$ 和 $b$）构造正则双正交对的方法。此处，希尔伯特空间 ${\cal H}$ 中的序列 $\{ \phi_{n} \}$ 和 $\{ \psi_{n} \}$ 若满足 $( \phi_{n} | \psi_{m})= \delta_{nm}$，$n,m=0,1, \cdots$，则称为双正交的；若 $D_{\phi} \equiv Span \{ \phi_{n} \}$ 与 $D_{\psi} \equiv Span \{ \psi_{n} \}$ 均在 ${\cal H}$ 中稠密，则称为正则的。事实上，构造正则双正交对的假设与文献 \cite{bagarello10} 中最初给出的伪玻色子的定义一致。此外，我们研究了伪玻色子算符 $a, \; b, \; a^{\dagger}, \; b^{\dagger}$ 与由正则双正交对 $(\{ \phi_{n} \}, \{ \psi_{n} \} )$ 和 ${\cal H}$ 的一个正交归一基 \mbox{ e} 所定义的伪玻色子算符（见文献 \cite{hiroshi1}）之间的联系。第二个目的是定义并研究文献 \cite{bagarello13, bagarello2013} 中的 ${\cal D}$-伪玻色子概念，并给出分步构造 ${\cal D}$-伪玻色子的方法。然后我们证明，对于 ${\cal H}$ 中的任意正交归一基 \mbox{ e}= \{ e_{n} \} 以及 ${\cal L}^{\dagger} ( {\cal D})$ 中的任意算符 $T$ 和 $T^{-1}$，我们可以构造满足 ${\cal D}$-伪玻色子的算符 $A$ 和 $B$，其中 ${\cal D}$ 是希尔伯特空间 ${\cal H}$ 中的稠密子空间，${\cal L}^{\dagger} ( {\cal D})$ 是所有从 ${\cal D}$ 到 ${\cal D}$ 的线性算符 $T$ 的集合，且满足 $T^{\ast} {\cal D} \subset {\cal D}$，这里 $T^{\ast}$ 是 $T$ 的伴随算符。最后，我们利用上述构造 ${\cal D}$-伪玻色子的方法，给出了一些基于标准玻色子的 ${\cal D}$-伪玻色子的物理实例。