正则双正交对的普遍理论及其物理应用

本文介绍了正则双正交序列的普遍理论及其物理应用。希尔伯特空间 ${\cal H}$ 中的双正交序列 $\{ \phi_{n} \}$ 与 $\{ \psi_{n} \}$ 若满足 $Span\; \{ \phi_{n} \}$ 与 $Span\; \{ \psi_{n} \}$ 在 ${\cal H}$ 中稠密，则称为正则的。首要目的是证明存在由 ${\cal H}$ 中一个 ONB \mbox{f} \equiv \{ f_{n} \} 定义的非奇异正自伴算子 T_{\mbox{f}}，使得 \phi_{n}=T_{\mbox{f}} f_{n} 且 \psi_{n}= T_{\mbox{f}}^{-1} f_{n}（$n=0,1, \cdots$），并且该 ONB \mbox{f} 是唯一的。第二个目的是定义并研究由该非奇异正自伴算子 T_{\mbox{f}} 决定的下降算符 A_{\mbox{f}} 与 B_{\mbox{f}}^{\dagger}、上升算符 B_{\mbox{f}} 与 A_{\mbox{f}}^{\dagger}、数算符 N_{\mbox{f}} 与 N_{\mbox{f}}^{\dagger}。这些算符与拟厄米量子力学及其相关理论相联系。本文厘清并简化了该框架的数学结构，使所需假设最小化。