精化 Abel–Jacobi 映射

给定特征为零的域 k 上的光滑射影簇 X,我们考虑从 Chow 群 $CH^q(X\times_kK)$(其中 K 为簇在域 k 上光滑闭点的局部环的 Hensel 化 $A^h$ 的分式域)的 de Rham 上同调循环类映射与适当投影的复合:$CH^q(X\times_kK)\longrightarrow\bigoplus_{p=1}^qgr_F^{q-p}N^{q-p} H^{2q-p}_{dR/k}(X)\otimes_k\Omega^p_{A^h/k,{\rm closed}},$其中 $F^{\bullet}$ 与 $N^{\bullet}$ 分别为 de Rham 上同调上的 Hodge 滤链与层滤链。经典的 Abel–Jacobi 映射对应于该同态与到 p=1 分量的投影之复合。此同态非单射,然而,其与到空间 $\bigoplus_{p=1}^qgr_F^{q-p}N^{q-p}H^{2q-p}_{dR/k}(X)\otimes_k \lim_{\longleftarrow_M}d(\Omega^{p-1}_{A_M/k})$ 的嵌入之复合是满的,其中 $A_M=A^h/{\frak m}^M$ 且 ${\frak m}$ 为极大理想,对任意使逆 Lefschetz 算子 $H^{2\dim X-q}(X)(\dim X)\stackrel{\sim}{\longrightarrow}H^q(X)(q)$ 由对应诱导的 q 均成立。