$n$ 元半群的还原性：从拟平凡性到幂等性

设 $X$ 为非空集合。用 $\mathcal{F}^n_k$ 表示满足如下条件的结合运算 $F\colon X^n\to X$ 的类：当 $x_1,\ldots,x_n$ 中至少 $k$ 个元素彼此相等时，有 $F(x_1,\ldots,x_n)\in\{x_1,\ldots,x_n\}$。$\mathcal{F}^n_1$ 的元素称为拟平凡的，$\mathcal{F}^n_n$ 的元素称为幂等的。我们证明 $\mathcal{F}^n_1=\cdots =\mathcal{F}^n_{n-2}\subseteq\mathcal{F}^n_{n-1}\subseteq\mathcal{F}^n_n$，并给出集合 $X$ 上使最后包含关系严格的充要条件。$\mathcal{F}^n_1$ 类最近由 Couceiro 和 Devillet 刻画，他们证明其元素可归约为二元结合运算。然而，$\mathcal{F}^n_n$ 的某些元素不可归约。本文中，我们刻画类 $\mathcal{F}^n_{n-1}\setminus\mathcal{F}^n_1$ 并证明其元素可归约。我们给出相应归约的完整描述，并展示其中每一个如何由一个拟平凡半群和一个指数整除 $n-1$ 的阿贝尔群构造而来。