有限约化群中幂映射的渐近性

设 $G$ 为定义在 $\mathbb F_q$ 上的连通约化群。固定整数 $M\geq 2$，考虑 $G$ 上的幂映射 $x\mapsto x^M$。我们将 $G(\mathbb F_q)$ 在该映射下的像记为 $G(\mathbb F_q)^M$，并估计其包含的 $G(\mathbb F_q)$ 中正则半单、半单和正则元素的比例。我们证明当 $q\to\infty$ 时，所有这些比例相等并给出了其公式。我们还对群 $\text{GL}(n,q)$ 和 $\text{U}(n,q)$ 更明确地计算了此比例。