基于牛顿多面体的簇代数中的递推公式、正性与多面体基

本文研究了 TSSS 簇代数 $\mathcal A$ 中 $F$-多项式的牛顿多面体，并将其推广到更大的集合：由与向量 $h\in\Z^{n}$ 相关联的多面体 $N_{h}$ 组成的集合，以及由对应于 $N_{h}$ 的多面体函数 $\rho_{h}$ 组成的 $\widehat{\mathcal{P}}$。主要贡献包括：(i) 从簇变量的 $g$-向量出发，得到其在某个簇中的洛朗展开的递推构造；(ii) 证明当 $\A$ 为具有主系数的簇代数时，$\widehat{\mathcal{P}}$ 中由洛朗多项式组成的子集 $\mathcal{P}$ 是 $\mathcal{U}(\A)$ 的一个强正 $\Z Trop(Y)$-基，该 $\mathcal{U}(\A)$ 由某些普遍不可分解的洛朗多项式构成。对于一般的定义在任意半域 $\mathbb P$ 上的簇代数 $\mathcal A$，$\mathcal{P}$ 是 $\mathcal{U(A)}$ 的中间簇子代数 $\mathcal{I_P(A)}$ 的一个强正 $\Z\P$-基。我们称 $\mathcal P$ 为多面体基；(iii) 构造了相应的 $F$-多项式、$g$-向量、$d$-向量与簇变量之间的一些显式映射以刻画它们的关系。此外，我们分别给出了 (i)、(ii) 和 (iii) 的三个应用。