关于近最佳样条拟插值算子的近期结果

粗略地说,近最佳(缩写为 NB)拟插值算子(缩写为 QI)是一种形如 $Q_af=\sum_{\alpha\in A} \Lambda_\alpha (f) B_\alpha$ 的逼近算子,其中 $B_\alpha$ 为 B-样条,$\Lambda_\alpha (f)$ 为作用于给定函数 $f$ 的线性离散或积分型泛函。这些泛函依赖于有限个系数,它们是向量 $a_\alpha$($\alpha\in A$)的分量。下标 $a$ 指此向量序列。为使对所有属于由 $B_\alpha$ 生成的样条空间中所包含某子空间中的多项式 $p$ 都有 $Q_a p=p$,每个向量 $a_\alpha$ 必须位于仿射子空间 $V_\alpha$ 中,即满足某些线性约束。然而仍保留一些自由度,用于最小化每个 $\alpha\in A$ 的 $\Vert a_\alpha \Vert_1$。易证 $\max \{\Vert a_\alpha \Vert_1 ; \alpha\in A\}$ 是 $\Vert Q_a \Vert_{\infty}$ 的上界:因此,与其最小化 $Q_a$ 的无穷范数这一难题,我们最小化该范数的上界,这容易得多。此外,后者问题总至少有一个解,它对应一个 NB QI。本文第一部分,我们综述作者及合作者已研究的定义在一致或非一致剖分上的 NB 单变量或双变量样条 QI。第二部分,我们给出一些新结果,主要是关于定义于{\sl 非一致}剖分上的单变量与双变量积分 QI:此时 NB QI 更难刻画,且最优性质强烈依赖于剖分的几何。因此我们仅限于研究具有有趣形状性质和/或无穷范数一致有界且与剖分无关的 QI。