关于准插值及其关联平移不变空间的研究：基于新型广义薄板样条与反多元样条

提出一种对偏薄板样条 $$\varphi(x)=(c^{2d}+||x||^{2d})\log\left(c^{2d}+||x||^{2d}\right),\qquad x\in\mathbb{R}^n, d\in \mathbb{N}, c>0$$ 的新型广义，以进一步提高准插值的精度。当限制于偶维欧几里得空间时，该广义可用于生成一种再现所有次数为 $n+2d-1$ 多项式的准拉格朗日算子，从而补足最近提出的广义多元样条 $$\varphi(x)=\sqrt{c^{2d}+||x||^{2d}},\quad x\in\mathbb{R}^n, d\in \mathbb{N}, c>0$$ 仅限于奇数维的情况。该广义通过因子 $\mathcal{O}\left(h^{2(d-1)}\right)$ 提升了近似精度，其中 $d=1$ 代表经典薄板样条。随后与由这些函数生成的平移不变空间所产生的理论最优近似进行比较。此外，我们引入一种新的反多元样条类 $$\varphi(x)=\left(c^\lambda +||x||^\lambda\right)^\beta,\qquad x\in\mathbb{R}^n, \lambda \in\mathbb{R},\beta \in\mathbb{R}\backslash\mathbb{N}, c>0.$$ 我们提供了广义傅里叶变换的显式表示，并讨论其在原点附近的渐近行为。特别强调当 $\lambda$ 和 $\beta$ 均为负数时的情形。证明在维数 $n\geq3$ 时，可能构建一种再现当 $n$ 为偶数时所有次数为 $n-3$ 多项式、当 $n$ 为奇数时次数为 $\frac{n-1}{2}$ 多项式的准拉格朗日算子。此外，给出均匀近似误差为 $\mathcal{O}\left(h^{n-2}\log(1/h)\right)$（当 $n$ 为偶数）和 $\mathcal{O}\left(h^{\frac{n-3}{2}}\right)$（当 $n$ 为奇数）。其中，$h>0$ 表示填充距离。