最小化方差的整数分布排列

哪些整数分布的排列会最小化方差？设 $X$ 为随机变量，其取值在整数集合 $\{x_1, \dots, x_N\}$ 上，且 $\mathbb{P}(X_i = x_i) = p_i$, $i \in \{1,\dots,N\}$。设 $(p^{(1)}, \dots, p^{(N)})$ 为序列 $(p_1, \dots, p_N)$ 的非递增排序。设 $X^+$ 为随机变量，满足 $\mathbb{P}(X^+=0)=p^{(1)}$, $\mathbb{P}(X^+=1) = p^{(2)}$, $\mathbb{P}(X^+=-1)=p^{(3)}, \dots$, $\mathbb{P}(X^+=(-1)^N \lfloor \frac {N} 2 \rfloor)=p^{(N)}$。本短文我们推广并证明不等式 $\mathrm{Var}\, X^+ \le \mathrm{Var}\, X$。