使得 $\sum_{i=1}^n \prod_{j=1}^k r_j(i)$ 最大化或最小化的排列 $r_j$

我们考虑寻找 $\{1,\cdots , n\}$ 的排列 $r_j$ 的集合，使得 $\sum_{i=1}^n \prod_{j=1}^k r_j(i)$ 最大化或最小化的问题。虽然使该值最大化的排列集合易于确定，但寻找使该值最小化的排列集合似乎是一个未解决问题。我们给出了存在显式解的 $k$ 和 $n$ 的值，并评论了确定一般问题的计算问题。我们还研究了寻找使得 $\prod_{i=1}^n \sum_{j=1}^k r_j(i)$ 最大化或最小化的排列的对偶问题。作为该研究的一部分，我们也考察了重排不等式的一个变体。