同伦类与投影面积的实现

凸几何与代数几何之间的关系源远流长，追溯到 enumerative几何的古典著作。本文继续这一主题，通过研究四维空间中几何投影的两个相互关联问题：（1）设$A$为$\mathbb{R}^4$中的凸体，设$(p_{12}, p_{13}, p_{14}, p_{23}, p_{24}, p_{34})$为$A$在$\mathbb{R}^2$中六个坐标投影的面积。哪些由六个非负实数组成的六元组才能以此方式实现？（2）设$S$为$(\mathbb{P}^1)^4$中不可约曲面，设$(p_{12}, p_{13}, p_{14}, p_{23}, p_{24}, p_{34})$为$S$从$S$投射到 $(\mathbb{P}^1)^2$的六个坐标投影的次数。哪些由六个非负整数数组成的六元组才能实现？我们表明，这些问题由$\text{Gr}(2,4)$在三角超域$\mathbb{T}_2$上的Pl"ucker关系所支配。我们扩展分析，通过确定与不可约代数曲面 fundamental class 成正比的同伦类，解决了此情境下代数Steenrod问题。我们的结果导致若干关于光滑射影变种中可实现同伦类的猜想以及凸体投影体积的猜想。