射影空间中超曲面的补集

我们研究任意代数闭域上射影空间 $\mathbb{P}^n$ 中的补集问题：若 $H, H' \subseteq \mathbb{P}^n$ 是次数为 $d$ 的不可约超曲面，且补集 $\mathbb{P}^n \setminus H$、$\mathbb{P}^n \setminus H'$ 同构，则超曲面 $H$、$H'$ 是否同构？当 $n = 2$ 时，若 $d\leq 7$ 答案为肯定，而当 $d = 8$ 时存在反例。相反，我们对所有 $n, d \geq 3$ 且 $(n, d) \neq (3, 3)$ 给出反例。此外，我们证明补集问题在 $d = 2$ 时有肯定答案，并给出 $(n, d) = (3, 3)$ 时的部分结果。在论述过程中，我们证明：容许由光滑有理曲线树进行奇点解消的有理正规射影曲面，当且仅当它们在 Grothendieck 环中一致时为分段同构，从而肯定地回答了 Larsen 与 Lunts 针对此类曲面所提的问题。