正交多项式的保实根微分算子表示

本文研究形如$T[x^n]=P_n(x)$的线性变换，其中$\{P_n(x)\}$为正交多项式系。特别令人感兴趣的是理解这些算子何时保持多项式的实根性。已知当$P_n(x)$为Hermite多项式或标准Laguerre多项式时，变换$T$具有此性质。亦已知变换$T[x^n]=H_n^{\alpha}(x)$（其中$H_n^{\alpha}(x)$为带实参数$\alpha$的第$n$个广义Hermite多项式）具有微分算子表示$T[x^n]=e^{-\frac{\alpha}{2}D^2}x^n$。本文的主要结果是证明形如$\sum_{k=0}^\infty \frac{\gamma_k}{k!} D^k$的微分算子诱导出首一正交多项式系，当且仅当$\sum_{k=0}^\infty \frac{\gamma_k}{k!} D^k=\gamma_0e^{-\frac{ \alpha}{2}D^2-\beta D}$，其中$\gamma_0,\alpha,\beta \in \mathbb{C}$且$\alpha,\gamma_0 \neq 0$。当$\alpha \in \mathbb{R}$时，该算子将产生一组平移的广义Hermite多项式。我们还把从标准基到标准Laguerre基的变换$T[x^n]=L_n(x)$表示为形如$\sum_{k=0}^\infty \frac{p_k(x)}{k!} D^k$的微分算子，其中$p_k$为多项式，这一恒等式此前未被给出。