实根保持线性变换的微分算子表示中系数多项式的交错性质

我们研究形如$T[x^n]=P_n(x)$的线性变换$T \colon \mathbb{R}[x] \to \mathbb{R}[x]$，其中$\{P_n(x)\}$为实正交多项式系。此类保持或收缩多项式复零点位置的变换是受黎曼假设推动的近期研究对象。特别地，我们关注将全实零点多项式映射为全实零点多项式的线性变换。众所周知，任意变换$T \colon \mathbb{C}[x] \rightarrow \mathbb{C}[x]$具有微分算子表示$T = \sum_{k = 0}^\infty \frac{Q_k(x)}{k!} D^k$。受Chasse \cite{Chasse-PhD-2011}、Forg\'acs与Piotrowski \cite{Forgacs-Piotrowski-Hermite-2015}工作的启发，我们试图通过研究$Q_k(x)$的根来理解变换$T$的行为。我们证明了四件主要结果。第一，我们证明$Q_k(x)$为常数且$\{P_n(x)\}$为正交系的唯一情形是$P_n$构成平移的广义概率学家Hermite多项式集。第二，我们证明当$P_n(x)$为物理学家Hermite多项式或Laguerre多项式时，系数多项式$Q_k(x)$具有实根。接着，我们证明在这些情形下，相继多项式的根严格交错，这一性质此前尚未在系数多项式中被研究。最后我们讨论Chebyshev与Legendre多项式，证明Chasse的一个猜想，并提出若干开放问题。