通过格规约研究曲线附近有理点及小非零 |x^3-y^2|
数论
2025-10-20 v1 数值分析
代数几何
数值分析
摘要
我们给出一种利用线性逼近与格规约的新算法，以高效计算给定平面曲线 C 附近所有小高有理点。例如，当 C 为 Fermat 三次曲线时，在启发式时间 << L(N) M [其中 L(X):= (log X)^O(1)] 且 M>>N 的条件下，仅使用 O(log N) 空间即可找到所有满足 |x^3+y^3-z^3|<M 与 0<x<=y<z<N 的整数解。由于解的个数应渐近正比于 M log N（只要 M<N^3），计算代价实质上尽可能低。此外该算法易于并行化。它不仅产生新的数值例子，还导向理论结果、困难的开问题与自然推广。我们亦调整算法以研究 Hall 猜想：在 O(X^(1/2) L(X)) 时间内找到所有满足 0<|x^3-y^2|<<x^(1/2) 且 x<X 的整数解。通过将算法实现至 X=10^18，我们打破了先前关于 x^(1/2)/|x^3-y^2| 的纪录。O(X^{1/2} L(X)) 界是严格的；其证明还给出了对任意正有理 c，sqrt(cx^3) 模 1 分布的新估计。
引用
@article{arxiv.math/0005139,
title = {Rational points near curves and small nonzero |x^3-y^2| via lattice reduction},
author = {Noam D. Elkies},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0005139},
year = {2025}
}
备注
31 pages, including 2 numerical tables; invited talk at ANTS-IV (4th Algorithmic Number Theory Symposium, Leiden 7/2000). Similar results and methods for integer points near curves and higher-dimensional varieties will appear elsewhere