通过重心投影使用插入式估计量估计最优传输映射的收敛速率

$\mathbb{R}^d$ 上两个概率分布 $\mu$ 和 $\nu$ 之间的最优传输映射在机器学习和统计学中已有广泛应用。实践中，这些映射需要根据按 $\mu$ 和 $\nu$ 采样的数据进行估计。插入式估计量（plug-in estimators）或许是计算最优传输领域中估计传输映射最流行的方法。本文中，我们针对通过重心投影定义的通用插入式估计量，提供了其收敛速率的全面分析。我们的主要贡献是在最小光滑性假设下成立、可用于分析通用插入式估计量的重心投影新稳定性估计。我们通过首先给出最优传输映射的自然离散-离散与半离散估计量的收敛速率来说明该稳定性估计的用处。然后利用同一稳定性估计表明，在 Besov 型或 Sobolev 型附加光滑性假设下，基于小波或核平滑的插入式估计量分别加快收敛速率，并显著缓解自然离散-离散/半离散估计量所遭受的维数灾难。作为我们分析的一个副产品，我们在上述光滑性假设下还获得了 $W_2(\mu,\nu)$（即 $\mu$ 与 $\nu$ 间的 Wasserstein 距离）插入式估计量的更快收敛速率，从而补充了 Chizat 等人（2020）的近期结果。最后，我们展示了所得结果在获取两概率分布间 Wasserstein 重心收敛速率以及某些近期基于最优传输的独立性检验的渐近检测阈值方面的适用性。