混合泊松随机变量的稀有事件分析及其在人员配置中的应用

在为排队系统建模时，一个常见的假设是到达过程表现为具有恒定参数的泊松过程。然而在实践中，经常观察到呼叫到达显著过度离散。这促使我们在本文中考虑一个混合泊松到达过程，其到达率每$N^{a}$个时间单位重新采样一次，其中$a>0$且$N$是一个尺度参数。在论文的第一部分，我们分析了这个双随机到达过程的渐近尾分布。即，对于大的$N$和独立同分布的到达率$X_1, \dots, X_N$，我们专注于评估$P_N(A)$，即缩放后的到达数量超过$NA$的概率。依靠初等技巧，我们推导了$P_N(A)$的精确渐近式：对于$a< \frac{1}{3}$和$a > 3$，我们（以闭合形式）确定了一个函数$\tilde{P}_N(A)$，使得当$N \to \infty$时$P_N(A) / \tilde{P}_N(A)$趋于$1$。对于$a \in [\frac{1}{3},\frac{1}{2})$和$a\in [2, 3)$，我们找到了一个以渐近下界形式给出的部分解。对于$X_i$服从伽马分布的特殊情况，我们建立了对所有$a>0$的精确渐近式。此外，我们建立了一个渐近有效的重要性抽样程序，能以低计算成本产生可靠的估计。论文的第二部分考虑了一个由此类混合泊松到达过程馈入的无限服务器队列。应用类似于$P_N(A)$定义中的缩放，我们专注于系统中客户数量超过$NA$的概率的渐近性。所得的近似在人员配置的背景下可能有用。我们的数值实验表明，令人惊讶的是，当服务时间更可变时，所需的人员配置水平实际上可能降低。