$D$ 维激波碰撞的辐射：一阶公式的证明及任意阶的角向因子化

在前两篇论文中，我们利用微扰论计算了碰撞未来光锥内的几何结构，从而计算了两个 $D$ 维 Aichelburg-Sexl 激波对心碰撞中的非弹性度 $\epsilon$。作为精确数值拟合得到的一阶结果，给出了极其简单的公式 $\epsilon_{\rm 1st\, order} = 1/2 - 1/D$。在此，我们解析地证明了该结果在一阶微扰论中是精确的。此外，我们阐明了微扰论与非弹性度角功率围绕碰撞对称轴 $(\theta = 0,\pi)$ 的角向级数之间的关系。为确立这些结果，首先，我们证明了由于一种隐藏对称性，在零无穷远处，角向依赖性在微扰论中逐阶因子化。其次，我们证明了在某一阶 $O(n)$ 对 $\sin^2 \theta$ 幂次的角向级数进行一致截断，需要知晓高达 $O(n+1)$ 阶的度规微扰。特别是，这证明了一阶微扰论中所使用的各向同性假设是合理的。随后，我们解析地计算了所有对非弹性度有贡献且线性依赖于初始条件（表面项）的项，包括二阶贡献。