高频亥姆霍兹方程在无穷远处的辐射条件：一个非再聚焦准则的最优性

我们考虑具有可变折射率 $n^2(x)$ ($x \in \R^d$) 的高频亥姆霍兹方程，并补充一个支撑在原点 $x=0$ 附近的高频源项。添加了一个小的吸收参数 $\alpha_{\varepsilon}>0$，它以某种方式为所考虑的亥姆霍兹方程规定了无穷远处的辐射条件。半经典参数为 $\varepsilon>0$。我们让 $\eps$ 和 $\a_\eps$ {\em 同时} 趋于零。我们研究的问题是：在渐近过程 $\eps \to 0$ 中，间接规定的无穷远处辐射条件是否被 {\em 一致地} 满足，或者换句话说，所考虑方程的适当重标度解是否趋向于自然极限亥姆霍兹方程的 {\em 出射} 解。此问题先前已由第一作者研究过。已证明，只要折射率满足一个特定的 {\em 非再聚焦条件}（该条件在此参考文献中首次被指出），辐射条件确实对 $\eps$ 一致地满足。非再聚焦条件本质上要求，与高频亥姆霍兹算子自然关联且在 $t=0$ 时刻从原点 $x=0$ 发出的几何光学射线，不应在稍后某个时刻 $t>0$ 再次聚焦于原点附近。在本文中，我们在以下意义上证明了上述非再聚焦条件的 {\em 最优性}。我们展示了一个 {\em 确实} 将从原点发出的几何光学射线再次聚焦于原点附近的折射率，另一方面，我们完整地计算了相应亥姆霍兹方程解的渐近行为：我们证明极限解 {\em 不满足} 无穷远处的自然辐射条件。更精确地说，我们证明极限解是自然极限亥姆霍兹方程出射解的一个 {\em 扰动}，且该扰动项显式地包含了从原点辐射出又返回原点的那些射线的贡献。此项还方便地由一个相位因子调制，该相位因子恰好是沿上述射线的、与半经典亥姆霍兹方程相关联的哈密顿量的作用量。