对称对数凹随机变量的 Rényi 熵与方差比较

我们证明，对于任意 $\alpha>0$，在所有具有固定方差的对称对数凹随机变量中，阶数为 $\alpha$ 的 Rényi 熵要么在均匀分布下取最小，要么在双侧指数分布下取最小。第一种情形发生于 $\alpha \in (0,\alpha^*]$，第二种情形发生于 $\alpha \in [\alpha^*,\infty)$，其中 $\alpha^*$ 满足方程 $\frac{1}{\alpha^*-1}\log \alpha^*= \frac12 \log 6$，即 $\alpha^* \approx 1.241$。利用这些结果，我们证明在所有具有固定方差的对数凹随机变量中，单侧指数分布使阶数 $\alpha \geq 2$ 的 Rényi 熵最小。