quiver varieties 与双规范基

我们概述了关于量子群和 $\imath$量子群双规范基理论的最新进展。$\imath$quiver 代数由王氏与第一作者引入，用于给出准 split $\imath$量子群（类型 ADE）的两个实现：一种通过 $\imath$Hall 代数，另一种通过 Nakajima-Keller-Scherotzke quiver varieties 的量子 Grothendieck 环。几何构建的 $\imath$量子群产生其双规范基并具备正性，这扩展了 Qin 对类型 ADE 量子群的几何实现。最近，作者们提供了 $\imath$Hall 代数中双规范基的新构造，证明其在 braid group 作用下不变，并获得了从 Hall 基到双规范基的过渡矩阵系数正性。由于量子群可视为对角类型 $\imath$量子群，我们演示了量子群的双规范基与 Berenstein 和 Greenstein 定义的双规范基一致，解决了其中的若干猜想。