Siegel-Veech 常数的拟模性与大亏格极限
数论
2018-03-29 v2 代数几何
组合数学
几何拓扑
摘要
拟模形式最初是在计算环面覆盖的背景下被研究的。这里我们证明，这些带有 Siegel-Veech 权重的覆盖的加权版本也能提供拟模形式。我们应用此结果证明了 Eskin 和 Zorich 关于 Masur-Veech 体积和 Siegel-Veech 常数的大亏格极限的猜想。在第一部分中，我们将 Siegel-Veech 常数的几何定义与组合计数问题以及 Hurwitz 空间上的相交数联系起来。我们引入了修正的 Siegel-Veech 权重，其生成函数将在后文被证明是拟模的。第二部分和第三部分致力于研究由环面覆盖加权计数产生的生成函数的拟模性。出发点是 Bloch 和 Okounkov 的定理，即移位对称函数的 q-括号是拟模形式。在第二部分中，我们用高斯积分给出了它们的增长多项式的表达式，并以此获得了累积量生成级数的闭式公式，这是研究大亏格渐近性的基础。在第三部分中，我们证明了分区的偶钩长矩是移位对称多项式，并给出了此类钩长矩与任意移位对称多项式乘积的 q-括号公式。该公式通过外推法也证明了 (-2) 次钩长矩的拟模性，并蕴含了 Siegel-Veech 加权计数函数的拟模性。最后，在第四部分中，这些结果被用于给出阿贝尔微分主层情况下体积和 Siegel-Veech 常数的显式生成函数。为了将这些精确公式应用于 Eskin-Zorich 猜想，我们提供了一个计算快速发散幂级数渐近性的通用框架。
引用
@article{arxiv.1606.04065,
title = {Quasimodularity and large genus limits of Siegel-Veech constants},
author = {Dawei Chen and Martin Moeller and Don Zagier},
journal= {arXiv preprint arXiv:1606.04065},
year = {2018}
}
备注
107 pages, final version, to appear in J. of the AMS