基于粗糙路径的拟线性 SPDE

我们关注由粗糙右端驱动的、最高阶系数具有非线性依赖的（一致）抛物型偏微分方程。为简单起见，我们考虑具有单个空间变量的时空周期设置：\begin{equation*} \partial_2u -P( a(u)\partial_1^2u - \sigma(u)f ) =0 \end{equation*} 其中 $P$ 是到零均值函数上的投影，$f$ 是一个分布，并且仅在抛物型 Hölder 尺度上对于 $\alpha > \frac{2}{3}$ 以 $C^{\alpha-2}$ 的低正则性范数受控。我们心目中的例子是随机强迫 $f$，并且我们的假设允许例如 $f$ 在时间变量 $x_2$ 上为白噪声，而在空间变量 $x_1$ 上仅为轻度有色；任何空间协方差算子 $(1 + |\partial_1|)^{-\lambda_1 }$ 只要 $\lambda_1 > \frac13$ 都是可接受的。在确定性方面，我们假设能控制形如 $v\partial_1^2v$ 和 $vf$ 的乘积，其中 $v$ 求解常系数方程 $\partial_2 v-a_0\partial_1^2v=f$，我们得到了 $u$ 的 $C^\alpha$ 估计。因此，对于小数据，我们获得了关于 $(f, vf, v \partial_1^2v)$ 的小时空周期解的存在性、唯一性和稳定性。随后我们展示了在随机强迫 $f$ 情形下如何利用随机论证界定所需乘积。为此，我们通过 Gubinelli 受控粗糙路径概念的时空版本，将奇异乘积 $\sigma(u)f$ 的处理推广到乘积 $a(u)\partial_1^2u$，后者具有同等的奇异性但更具非线性，因为解 $u$ 同时出现在两个因子中。该 PDE 要素模仿了针对普通 Schauder 理论的（无核）Krylov-Safanov 方法。