拟齐次域与凸仿射流形

在本文中，我们研究可覆盖紧仿射流形的凸仿射域。为此，我们首先证明每个严格凸拟齐次射影域至少具有 $C^1$ 边界，并且若其边界二次可微则为椭球。然后我们证明 n 维抛物面是 $\mathbb R^n$ 中直到仿射等价唯一的严格凸拟齐次仿射域。进一步我们证明，若一个严格凸拟齐次射影域在其边界的一个开子集上为 $C^{\alpha}$，则它在处处为 $C^{\alpha}$。利用这一事实与渐近锥的性质，我们找出了维数 $\leq 4$ 的紧凸仿射流形的发展像的所有可能形状。