拟梯度系统、调制二分性与空间周期模式的稳定性

扩展了Grillakis-Shatah-Strauss、Bronski-Johnson-Kapitula等人针对哈密顿系统的方法，我们探索了约束变分问题$\min_{X:C(X)=c_0} \mathcal{E}(X)$，$c_0\in \RM^r$，与一类允许约束的退化“拟梯度”系统$dX/dt=-M(X)\nabla \mathcal{E}(X)$解的稳定性之间的关系，包括Cahn-Hilliard方程、一维和多维粘弹性、以及趋化性和相关背景下出现的耦合守恒律-反应扩散系统。利用变分稳定性与$\partial c/\partial \omega \in \R^{r\times r}$的符号之间的关系，其中$c(\omega)=C(X^*_\omega)\in \RM^r$表示施加的约束值，$\omega\in \RM^r$表示临界点$X^*_\omega$处的相关拉格朗日乘子，我们像哈密顿情形一样得到了周期波共周期稳定性的通用判据，阐明并扩展了之前通过直接Evans函数技术得到的一些结果。更有趣的是，比较共周期理论中出现的雅可比矩阵与调制相关的形式Whitham方程中出现的雅可比矩阵，我们恢复并大幅推广了之前由Oh-Zumbrun和Howard在特殊情况下观察到的神秘的“调制二分性”，表明共周期稳定性和边带稳定性是不兼容的。特别地，我们既阐明又推广了Oh-Zumbrun关于具有应变梯度效应的粘弹性方程周期解（视为整条直线上的函数）普遍调制不稳定性的结果。同样，我们将Howard关于Cahn-Hilliard方程周期解的相应结果推广到多维情形。