带对数中心尖峰的量子方势阱

研究了在原点具有奇异对数尖峰的线性方势阱薛定谔方程。该研究是系统性的，其动机来自非线性薛定谔方程产生的非高斯子态 $\psi_n(x)$，$n \neq 0$ 的问题。一旦将态依赖的自相互作用项选为对数形式，$\sim -g\,\ln[\psi^*_n(x)\psi_n(x)]$，该非线性模型会在 $n \neq 0$ 时 $\psi_n(x)$ 的节点零点附近产生令人困惑的对数（即弱奇异）排斥势垒。在我们的线性化方法中，弱耦合 regime 被证明可由常规的 Rayleigh-Schr"{o}dinger 微扰论可靠描述。它甚至以闭合形式给出了谱的一阶图像。在弱耦合 regime 之外，建议对未微扰哈密顿量进行修正。最后，在变量代换 $x=\exp y$ 之后，在非微扰设定下获得了对 $x=0$ 处奇点性质的分析性洞察。