模糊 de Sitter 空间上的量子标量场 I. 场模式与真空

我们研究了标量场在非交换时空模型——模糊 de Sitter 空间上的情况，该模型基于 de Sitter 群 $SO(1,d)$ 的代数及其酉不可约表示。我们求出 $d=2,4$ 维情形下的 Klein-Gordon 方程，并通过特定坐标选择和算子排序，表明所有交换场模式可推广为模糊 Klein-Gordon 方程的解。为探讨这些模式集合的完备性，我们指定 Hilbert 空间表示，研究标量场的矩阵元（积分核），从而找到模糊 Klein-Gordon 方程的完整解集合。当空间维数 $d>2$ 时，非交换解的自由度超过交换解。四维情形下，新的非几何、内部模式由 $S^2\times W$ 参数化，其中 $W$ 为离散矩阵空间。我们的结果为模糊 de~Sitter 空间上的量子场论分析奠定了基础。