量子immanant、双 Young-Capelli 双表格与 Schur 移位对称函数

本文在包络代数 $\mathbf{U}(gl(n))$ 中引入两类元素：\emph{双 Young-Capelli 双表格} [\ \fbox{S \ | \ T}\ ] 与\emph{中心}\emph{Schur 元素} $\mathbf{S}_{\lambda}(n)$，它们以显著方式作用于不可约 Schur 模的最高权向量。任一元素 $\mathbf{S}_{\lambda}(n)$ 是所有双 Young-Capelli 双表格 [\ \fbox{S \ | \ S}\ ] 之和，其中 $S$ 为形状 $\widetilde{\lambda}$ 的行（严格）递增 Young 表。证明 Schur 元素 $\mathbf{S}_\lambda(n)$ 是\emph{移位 Schur 多项式} $s_{\lambda|n}^* \in \Lambda^*(n)$ 关于 Harish-Chandra 同构的原像。因此，Schur 元素与 Okounkov \textit{量子 immanant} 相同，后者近来由本文作者描述为 \emph{Capelli immanant} 的线性组合。Schur 元素/量子 immanant 的这一新表示不涉及对称群的不可约特征标。Capelli 元素 $\mathbf{H}_k(n)$ 为列 Schur 元素，Nazarov-Umeda 元素 $\mathbf{I}_k(n)$ 为行 Schur 元素。$\boldsymbol{\zeta}(n)$ 中的对偶性源于 $\mathbf{H}_k(n)$ 在不可约模上特征值的组合描述，该描述在形状/分拆意义下与 $\mathbf{I}_k(n)$ 特征值的组合描述\emph{对偶}。代数 $\boldsymbol{\zeta}(n)$ 中 $n \rightarrow \infty$ 的极限在滤子代数范畴中通过\emph{Olshanski 分解/投影}同时作为正向与逆向极限获得。