圈量子引力中的量子化曲率

超链接是 $\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3$ 中一组互不相交的简单闭曲线。设 $S$ 为 $\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3$ 中的可定向曲面。Einstein-Hilbert 作用量 $S(e,\omega)$ 定义在 vierbein $e$ 和 $\mathfrak{su}(2)\times\mathfrak{su}(2)$ 值联络 $\omega$ 上，它们是广义相对论中的动力学变量。通过对曲率 $d\omega + \omega \wedge \omega$（其为 $\mathfrak{su}(2)\times\mathfrak{su}(2)$ 值）在曲面 $S$ 上积分，定义泛函 $F_S(\omega)$。我们将 $F_S(\omega)$ 对与 $S$ 不相交的超链接 $L$ 的 holonomy 算符以及 Einstein-Hilbert 作用量的指数，在 vierbein $e$ 和 $\mathfrak{su}(2)\times\mathfrak{su}(2)$ 值联络 $\omega$ 的空间上积分。利用我们此前在 $\mathbb{R}^3$ 中 Chern-Simons 路径积分上的工作，我们将此无限维路径积分写为一列 Chern-Simons 积分的极限。我们的主要结果表明，量子化曲率可由 $L$ 与 $S$ 之间的环绕数算出。