体积的路径积分量子化

超链接（hyperlink）是 $\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3$ 中一组有限的、不相交的简单闭曲线。设 $R$ 为 $\mathbf{R}^3$ 内的一个紧集。广义相对论中的动力学变量是标架场 $e$ 和 $\mathfrak{su}(2)\times\mathfrak{su}(2)$ 值的联络 $\omega$。结合闵可夫斯基度规，$e$ 将定义流形上的度规 $g$。记 $V_R(e)$ 为给定 $e$ 选择下 $R$ 的体积。爱因斯坦 - 希尔伯特作用量 $S(e,\omega)$ 定义在 $e$ 和 $\omega$ 上。我们将通过对标架场 $e$ 和 $\mathfrak{su}(2)\times\mathfrak{su}(2)$ 值的联络 $\omega$ 的空间进行积分，将 $V_R(e)$ 与不与 $R$ 相交的超链接 $L$ 的全纯算子（holonomy operator）以及爱因斯坦 - 希尔伯特作用量的指数相乘，从而对 $R$ 的体积进行量子化。利用我们之前在 $\mathbb{R}^3$ 中关于 Chern-Simons 路径积分的工作，我们将这个无限维路径积分写为一系列 Chern-Simons 积分的极限。我们的主要结果表明，体积算子可以通过计算位于 $R$ 内部的投影超链接中的半扭转（half-twists）数量来计算。通过将 $\mathfrak{su}(2)\times\mathfrak{su}(2)$ 的不可约表示分配给 $L$ 的每个分量，体积算子给出了总动能，其来源于平动动量和角动量。