总 $Q$-曲率在最小化度量附近的定量稳定性

在适当的正性假设下，我们证明了关于平滑闭式 $n$ 维黎曼流形上，每一整数 $1 \leq k < \frac{n}{2}$ 的总 $k$ 阶 $Q$-曲率泛函附近的定量估计。更准确地说，我们表明在一般闭式黎曼流形上，到最小化度量集合的距离由 $Q$-曲率能量缺口控制，其平方度量。这扩展了埃利格斯塔、诺穆莱和斯波拉奥尔在 $k=1$ 情形下的近期工作。随后我们证明，对于任意整数 $1 \leq k< \frac{n}{2}$，存在一个 $n$ 维黎曼流形，使得 $k$ 阶 $Q$-曲率缺口控制到最小化度量集合距离的更高次方。这类退化实例我认为具有独立的兴趣，可用于该领域的进一步发展。