不同尺度下的定量 John-Nirenberg 不等式

我们对 $\mathbb{R}^n$ 中的所有立方体 $Q$ 和每个函数 $f\in \mathrm{BMO}(\mathrm{d}\mu)$ 给出形式为 $$\|f-f_{Q,\mu}\|_{X \left(Q,\frac{\mathrm{d} \mu}{Y(Q)}\right)}\leq c(\mu,Y)\psi(X)\|f\|_{\mathrm{BMO}(\mathrm{d}\mu)}$$ 的抽象估计，其中 $\mu$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的加倍测度，$Y$ 是定义于立方体上的某个正泛函，$\|\cdot \|_{X \left(Q,\frac{\mathrm{d} w}{w(Q)}\right)}$ 是足够好的拟范数，而 $c(\mu,Y)$ 和 $\psi(X)$ 分别是依赖于 $\mu$ 和 $Y$、以及 $X$ 的正常数。该抽象方案使我们能够恢复已知等价于 John-Nirenberg 不等式的锐估计 $$\|f-f_{Q,\mu}\|_{L^p \left(Q,\frac{\mathrm{d} \mu(x)}{\mu(Q)}\right)}\leq c(\mu)p\|f\|_{\mathrm{BMO}(\mathrm{d}\mu)}, \qquad p\geq1$$ 对每个立方体 $Q$ 和每个 $f\in \mathrm{BMO}(\mathrm{d}\mu)$ 成立，并且还使我们能在 $L^p$ 被合适的强和弱 Orlicz 空间以及 $L^{p(\cdot)}$ 空间替代时获得定量对应结果。除前述结果外，我们还将 [OPRRR20] 中的定理 1.2 推广到加倍测度的情形，并得到了 Muckenhoupt 的 $A_\infty$ 权的一个新刻画。