基于概率方法的非均匀泊松问题边界H"{o}lder估计

本文通过概率方法推导了有显式常数的非均匀泊松问题的边界H"{o}lder估计，适用于有界开放集 $D\subset \mathbb{R}^d$。本文的研究方法包含两个主要步骤：首先，考虑任意的 $D$，证明泊松方程解的边界 $\alpha$-H"{o}lder 正则性由边界数据的H"{o}lder半范数、驱动项的 $L^ \gamma$-范数（其中 $\gamma > d/2$）以及布朗运动从 $D$ 中退出时间的 $\alpha/2$ 矩所控制，且常数为显式形式。其次，推导退出时间 $\alpha/2$ 矩的显式估计，表达式以到边界的距离、域 $D$ 的正则性以及 $\alpha$ 为函数形式。利用该方法，我们在满足外部球体条件、外部锥/楔条件的域中，依据简单的几何特征推导出显式估计。作为结果，我们也获得了Green函数和解的梯度的点估计的显式常数。所得估计可用于避免高维问题中求解泊松问题的维数诅咒，当采用神经网络进行近似求解时，可实现维数多项式缩放，这在某些情况下可证明为最优。