孪生序多面体的二次Gröbner基

设 $P$ 和 $Q$ 是 $[d] = \{1, \ldots, d\}$ 上的有限偏序集，且 $\mathcal{O}(P) \subset \mathbb{R}^{d}$ 和 $\mathcal{O}(Q) \subset \mathbb{R}^{d}$ 是它们的序多面体。$P$ 和 $Q$ 的孪生序多面体是凸多面体 $\Delta(P,-Q) \subset \mathbb{R}^{d}$，它是 $\mathcal{O}(P) \cup (- \mathcal{O}(Q))$ 的凸包。由此可知，$\mathbb{R}^{d}$ 的原点属于 $\Delta(P,-Q)$ 的内部当且仅当 $P$ 和 $Q$ 拥有公共线性扩展。将证明，当 $\mathbb{R}^{d}$ 的原点属于 $\Delta(P,-Q)$ 的内部时，$\Delta(P,-Q)$ 的环面理想关于一个逆字典序拥有二次 Gröbner 基，其中对应于原点的变量最小。因此特别地，如果 $P$ 和 $Q$ 拥有公共线性扩展，则孪生序多面体 $\Delta(P,-Q)$ 是正规 Gorenstein Fano 多面体。