二次型与分数阶 Sobolev 空间

我们研究 $L^2(\mathbb{R}^d)$ 上生成分数阶 Sobolev 空间 $H^s(\mathbb{R}^d)$（其中 $0 < s < 1$）中半范数的二次泛函。所考虑的泛函出现在 Markov 跳跃过程的研究中，并独立地出现在关于 Boltzmann 方程的近期研究中。该泛函以类似于 $H^s(\mathbb{R}^d)$ 半范数的方式度量函数 $f$ 的可微性。主要区别在于，只有当 $y$ 位于以 $x$ 为顶点的某个双锥中，或反之以 $y$ 为顶点时，差值 $f(y) - f(x)$ 才会被考虑。双锥的构型允许是非均匀的，且对空间正则性没有任何假设。我们证明了所得半范数与 $H^s(\mathbb{R}^d)$ 的标准半范数是可比较的。该证明源于 $\mathbb{Z}^d$ 中离散二次型的一个类似结果，这是我们的第二个主要结果。我们建立了一种用于非局部二次型离散逼近的一般方案。讨论了其在 Markov 跳跃过程中的应用。