Fan 图与图连接的二次嵌入常数

我们推导了图连接 $\bar{K}_m+G$ 的二次嵌入常数的通用公式，其中 $\bar{K}_m$ 为具有 $m\ge1$ 个顶点的空图，$G$ 为任意图。将我们的公式应用于 Fan 图 $K_1+P_n$，其中 $K_1=\bar{K}_1$ 为单子图，$P_n$ 为具有 $n\ge1$ 个顶点的路径图，我们证明 $\mathrm{QEC}(K_1+P_n)=-\tilde{\alpha}_n-2$，其中 $tilde{\alpha}_n$ 为与第二类切比雪夫多项式相关的新多项式 $\Phi_n(x)$ 的最小零点。此外，对于偶数 $n$，我们有 $tilde{\alpha}_n=\min\mathrm{ev}(A_n)$，其中右侧为路径图 $P_n$ 邻接矩阵 $A_n$ 的最小特征值。对于奇数 $n$，我们证明 $\min\mathrm{ev}(A_{n+1})\le\tilde{\alpha}_n<\min\mathrm{ev}(A_n)$。