图的二次嵌入常数：界与距离谱

有限、简单、连通图$G$的二次嵌入常数（QEC）是$G$的距离矩阵二次型在垂直于全1向量的单位球面子集上的最大值。这些QEC的研究源于Schoenberg关于度量空间二次嵌入的经典工作[Ann. of Math., 1935]和[Trans. Amer. Math. Soc., 1938]。在本文中，我们给出树的QEC的紧上界与下界。接下来我们探讨图的距离谱与二次嵌入常数之间的关系，并给出两个进一步结果：$(i)$ 我们证明图的二次嵌入常数为零当且仅当其第二大距离特征值为零。$(ii)$ 我们确定了一类新的非奇异图子类，其QEC为第二大距离特征值。最后，我们证明任意图$G$与完全图或星图组成的聚类的QEC可用$G$的QEC表示。作为该结果的应用，我们给出了QE类图的新族示例。