毕达哥拉斯三元组、整数Apollonian与圆 Hofstadter 蝴蝶

诸如毕达哥拉斯三元组（$\cal{PT}$）和整数Apollonian垫（$\cal{IAG}$）这样的分层集合，是由整数构成的标志性数学集合，引起了广泛求知者的共鸣。此处我们表明，这些抽象对象与一个由整数构成的量子分形相关，即著名的{\it Hofstadter 蝴蝶}。“蝴蝶分形”描述了晶体中磁场下电子的{\it 物理系统}，代表了被称为{\it 整数量子霍尔}态的奇异物质态。蝴蝶中的整数即霍尔电导的量子，它们以高度卷曲的形式出现在$\cal{PT}$和$\cal{IAG}$的整数中。当我们放大自相似的蝴蝶分形时，这些整数的标度性质由一类二次无理数给出，它们以高度复杂而有序的模式编织蝴蝶，其中一些描述了{\it 数学万花筒}。这些数论方面全部隐藏在抽象Minkowski空间中光锥上的Lorentz变换里，其中这些变换的一个子集与著名的{\it Pell方程}相关。