嵌入的推出稳定性、内射性与代数范畴

在拓扑空间与连续映射范畴 ${\mathbb T}$ 的若干个常见子范畴中，嵌入不是推出稳定的。但是，一个可在许多范畴（即拓扑空间范畴 $\mathcal{B}$）中刻画的有趣特征是：对 $\mathcal{M}$ 为所有嵌入组成的类，所有推出稳定的 $\mathcal{M}$-态射（即那些沿任意态射的推出仍属于 $\mathcal{M}$ 的 $\mathcal{M}$-态射）组成的子类，对某个空间 $A$ 而言具有形式 $A^{Inj}$，其中 $A^{Inj}$ 由所有满足映射 $Hom(m,A): Hom(Y,A) \to Hom(X,A)$ 为满射的态射 $m:X \to Y$ 构成。我们研究此现象。我们证明，在温和假设下，此类空间 $A$ 的反射包是 $\mathcal{B}$ 中最小的 $\mathcal{M}$-反射子范畴；进而，该反射包的对立范畴等价于 Eilenberg-Moore 范畴 $Set^{\mathbb T}$ 的一个反射子范畴，其中 ${\mathbb T}$ 是由右伴随 $Hom(-,A): {\mathbb T}^{op} \to Set$ 诱导的单子。我们也给出了范畴 $\mathcal{B}$ 上使得推出稳定的 $\mathcal{M}$-态射具有形式 $\mathcal{A}^{Inj}$（对某个范畴 $\mathcal{A}$）的条件。