纯旋量与 E_*-李代数的一种构造

设 $(V,g)$ 为 $2n$ 维双曲空间，$C(V,g)$ 为其 Clifford 代数。$C(V,g)$ 具有 $\mathbb Z$-分次 $C^k$，以及代数同构 $C(V,g)\cong End(S)$，其中 $S$ 为旋量空间。É. Cartan 定义了算子 $L_k: End(S) \to C^k$，其涉及纯旋量的定义。我们将对算子 $L_2$ 给出更精细的研究，事实上，基于旋量内积与组合学得到其显式公式，以及其在纯旋量一组基下的矩阵。利用这些信息，我们完全在 Clifford 代数与旋量理论内部给出了例外李代数 $\mathfrak e_6, \mathfrak e_7, \mathfrak e_8$ 的一种构造。