PTOPO：计算参数曲线的几何与拓扑

我们考虑在 $\mathbb{R}^n$ 中计算参数曲线的拓扑并描述其几何的问题。我们提出一种算法 PTOPO，它构造一个在嵌入空间中和该曲线同痕的抽象图。我们的方法利用了参数表示的优势，而不借助于隐式化。最重要的是，我们在参数空间而非隐式空间中进行所有计算。当参数化涉及次数至多为 $d$ 且系数最大位长为 $\tau$ 的多项式时，PTOPO 的最坏情况位复杂度为 $\tilde{\mathcal{O}}_B(nd^6+nd^5\tau+d^4(n^2+n\tau)+d^3(n^2\tau+ n^3)+n^3d^2\tau)$。该界与当前计算以隐式给出的平面代数曲线拓扑问题的记录界 $\tilde{\mathcal{O}}_B(d^6+d^5\tau)$ 相匹配。对于平面和空间曲线，若 $N = \max\{d, \tau \}$，PTOPO 的复杂度变为 $\tilde{\mathcal{O}}_B(N^6)$，相比 Alc\'azar 和 D\'iaz-Toca [CAGD'10] 的最优结果改进了 $N^{10}$ 倍。在相同的时空复杂度下，我们获得一个其直线嵌入与曲线同痕的图。然而，在抽象图构造之上可视化曲线会使界增至 $\tilde{\mathcal{O}}_B(N^7)$。对于一般维数的曲线，我们还可以通过采用 Blasco 和 P\'erez-D\'iaz [CAGD'19] 的算法，在 PTOPO 的相同期望复杂度下区分普通与非普通实奇点并确定其重数。我们已在 Maple 中实现了平面和空间曲线情形的 PTOPO。我们的实验说明了其实用性。