可证明收敛且鲁棒的 Newton-Raphson 方法：相对论 MHD 本原变量恢复的新曙光

所有相对论磁流体力学 (RMHD) 守恒格式长期面临的一个艰巨挑战是从守恒变量恢复本原变量。该过程涉及求解受物理约束的高度非线性方程。正如 [S.C. Noble 等人, ApJ, 641:626-637, 2006] 所强调的，理想的求解器应当“鲁棒、准确且快速——它是所有 RMHD 守恒格式的核心”。尽管经过三十余年的研究，寻找能够可证明保证稳定性和收敛性的高效求解器仍是一个开放问题。本文提出了首个理论分析，用于设计 RMHD 本原变量恢复中鲁棒、保持物理约束 (PCP) 且可证明（二次）收敛的 Newton-Raphson (NR) 方法。我们的关键创新是基于精细分析设计的初始猜测统一方法。它确保 NR 迭代始终收敛并遵循物理约束。鉴于迭代函数的极端非线性与复杂性，理论分析极具挑战性且技术性强。我们发现了一个关键不等式用于刻画迭代函数的凸性与凹性，并建立了保证 PCP 性质与收敛性的理论。我们还发展了在理论“安全”区间内确定可计算初始猜测的理论。有趣的是，我们发现三次多项式的唯一正根始终落在此区间内。我们的 PCP NR 方法用途广泛，可无缝集成到任何需要恢复本原变量的 RMHD 格式中，有望在该领域产生广泛影响。作为应用，我们将其引入间断 Galerkin 方法，得到了完全 PCP 的格式。若干数值实验展示了 PCP NR 方法的效率与鲁棒性。