平移光滑数的乘法性质

如果一个整数的最大素因子P(n)小于$y$，则称其为$y$-光滑数。本文研究当$P(n)\leq y$且$n\leq x$时形如$n-1$的数。预期在统计上，它们的乘法行为类似于所有小于$x$的整数。推广Basquin的一个结果，我们估计了当$(\log x)^c \leq y$（对某个正数$c$）时某些算术函数在平移光滑数上的平均值，展示了根据$\log y / \log\log x$是否趋于无穷而发生的行为变化。在相同的$(x,y)$范围内，我们证明了平移光滑数的Erdős-Kac型定理，改进了Fouvry和Tenenbaum的一个结果。本文的结果是利用Harper最近关于光滑数在算术级数中统计分布的工作得到的。